LP9 : Modèle de l’écoulement parfait
Bibliographie
- Cap Prépa, PC/PC*, chap 10 p.291
Niveau
CPGE
Prérequis
- Equation de Navier-Stokes
- Notion de viscosité
Introduction
Présentation du modèle avec les différents termes explicité du type : ce que c’est qu’un écoulement, et un écoulement parfait. Il faut également parler de l’équation d’Euler Il faut parler de couche limite Théorème de Bernouilli Tube de Venturi Tube de Pitot
I. Présentation du modèle
1) Ecoulement parfait
[Cap prépa, p.291]
Déf : Un écoulement est dit parfait si on peut y négliger les phénomènes de diffusion (viscosité, diffusion thermique). (Définition du cap prépa)
On présente l’équation de Navier-Stokes qui a été vu dans un cours précédent.
D’après la définition on veut que le terme convectif soit plus grand que le terme diffusif (de viscosité). Si on fait le rapport ça nous donne que Re»1.
Attention, cela ne veut pas dire que la viscosité est nulle. C’est un fluide parfait qui a une viscosité nulle.
Tous les fluides possèdent une viscosité sauf certains superfluides comme l’hélium IV en dessous de 2,17K (ne pas en parler c’est quelque chose de compliqué en MQ).
On peut considérer qu’un écoulement est parfait sous deux conditions : 1) Le nombre de Reynolds doit être assez grand pour que la viscosité soit négligeable hors des couches limites. Re»1 2) L’approximation n’a de sens que hors des couches limites.
Ex : Une voiture pour une voiture a 100km/h.
On néglige également la diffusion thermique. On a donc enlevé toutes sources d’irréversibilité. L’écoulement parfait est donc réversible au sens de la thermo (l’écoulement est isentropique).
On doit avoir un écoulement incompressible : ρ=cst
2) Equation d’Euler
Pour un écoulement compressible, dans une zone d’écoulement parfait, dans un référentiel galiléen. On la démontre en partant de l’équation de Navier-Stokes et en virant le terme qui est négligeable comme on l’a vu dans la partie précédente.
Transition : Négliger la viscosité du fluide est une grosse approximation qui n’est pas toujours valable. C’est ce que l’on va étudier dans la partie suivante.
3) Couche limite et condition aux limites
Condition aux limites : imperméabilité d’une paroi rigide. (Le fluide ne peut pas pénétrer à l’intérieur d’une surface solide). Poly Wietze
Pour un fluide réel, on a montré expérimentalement qu’un fluide adhère toujours à la paroi. On peut parler du paradoxe de d’Alembert où on n’a plus de paradoxe si on prend en compte la présence d’une couche limite. [Cap Prépa,p.279]
La couche limite par définition est la zone où la viscosité est le phénomène dominant. Le terme prépondérant est donc celui de viscosité dans l’équation de NS.L’échelle typique de variation de v dans la direction y est l’épaisseur de la couche limite δ. On fait une estimation dimensionnelle du terme visqueux. Voir le calcul [Cap Prépa, p.279] On calcule pour la voiture par exemple cette épaisseur.
II. Théorème de Bernouilli
1) Hypothèses
Faire un rappel sur ce qu’est un fluide incompressible. Bien donner les hypothèses.
2) Enoncé
Faire la démo Poly Wietze
III. Application
Tube de Pitot [Cap Prépa, p.309]